početna  > matematički video na dlanu  >  kvadriranje, korjenovanje i potenciranje - 8.razred

 

 

 

 

 
 

Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje / Realni brojevi - 8.razred

 

Stavite miša preko naslova videa da biste vidjeli opis.
KLIK na naslov videa → izabirete video.

 

Kliknite uz gornji rub videa, na naslov, ako ga želite gledati na YouTubeu.

 

 

 

              

Pozivam vas da na mom Youtube kanalu komentirate moje videolekcije te da moj rad podržite pretplatom na kanal, lajkanjem lekcija, te dijeljenjem linkova.

 

Background photo by stein egil liland
Subscribe icon created by Freepik
Bell icon created by Illustoon

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sadržaj ove stranice:
KVADRIRANJE, KORJENOVANJE,
KVADRATNA JEDNADŽBA, POTENCIRANJE.
Zaskrolajte...
 
KVADRIRANJE
 
Ponavljanje - Algebarski izrazi
 
Kako se riješiti zagrade kad je ispred nje + ili - i sređivanje izraza nakon toga U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima ispred zagrada imamo plus ili minus, te kako nakon toga zbrojiti dobivene pribrojnike. Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) (-2x + 3y) - (5x + y) - (-3x - 4y),
b) (2x - 7y + 2z) - (5x - 3y + 7z) - (-9x - 4y - 4z),
c) - (5ab + 7a - 8b) + (-2ab - 3a + 4b) - (-2ab + 3a + 4b),
d) - (-3n + 2b) + (-4n - 3b) - (-n),
e) - (2a + 4k) - (-6ak - 2a) + (3k - 5ak).
 
Kako se riješiti zagrade kad je ispred ili iza nje znak "puta"? Množenje monoma binomom. U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima ispred ili iza zagrada imamo znak "puta". Posebno ističemo da se umjesto npr. ba piše ab i sl.
1. Rješavamo zadatke:
a) 2 · (a - 3),
b) (x + 3) · y ,
c) (b - 7) · a,
d) c · (a - 2b + 4),
e) a · (b - 8) - b · (5 - a),
f) (y + 9) · x - y · ( x - 7),
g) d · (4 - c),
h) 2b · (a - x),
i) (7 - x + y) · 6,
j) (3m - 6n + 5k) · (-a),
k) -6 (a - b) - a (6 - b),
l) 6 (p + r) - 3p (r + 2) - r (-3p + 6).
 
Kako se riješiti zagrade kad je ispred nje znak minus, a iza nje znak "puta"? ZAMKA! U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima istovremeno ispred zagrade imamo minus, a iza zagrade znak "puta". Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) - (2 + b) · a,
b) 14 - (2 - 3a) · 7,
c) (4 - 3a) · x - (7 - 2x) · a,
d) a · (2b + c - 3) - 2b (a - c) - (8 - a) · c,
e) - (6 - n) · a,
f) 54x + (3 - 6x) · 9,
g) -72 - (9 - 7u) · 8,
h) (x - y + 6) · 8 - (y + 4) · 2x - y (2x - 8),
i) -4 ( 2r - 2p + 1) + (r - 4) · 2p - (2p - 3) · 3r.
 
Množenje zagrade zagradom (binoma binomom) - 1. dio - bez kvadrata U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima množimo zagradu sa zagradom. Pažnja: kod tog množenja NE pojavljuju nam se slučajevi množenja istih slova, npr. a·a. Takve slučajeve pojasnit ćemo u sljedećoj lekciji. Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) (a - 5) · (b + 7),
b) (-4 + y) · (3 - x),
c) - (5 - a) · (-x + 7),
d) 2ab - ( b - 8) · (3 - 2a),
e) 8d + (d - c) · (a - 8),
f) (c - 7) · (4 + a),
g) - (-e + 5) · (9 - f),
h) xy - (x - 3) · (y + 2).
 
Množenje zagrade zagradom (binoma binomom) - 2. dio - sa kvadratima U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima množimo zagradu sa zagradom i u kojima se pojavljuju kvadrati (jednostavniji slučajevi, npr. a·a=a2). Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) (a - 9) · (a + 7),
b) (y + 8) · (-y + 1),
c) - (a - 6) · (9 - a),
d) 2y2 - 8 - (2 - y) · (y - 4),
e) (a + 9) · (a - 9) - (a2 - 9) · 9,
f) (e - 9) · (e + 4),
g) (-d + 8) · (-7 - d),
h) x (2y - 5) - (2x - y) · y,
i) - (6 - a) · (-a + 2),
j) -3 + (d - 6) · (d + 6) + d2
 
Množenje zagrade zagradom (binoma i trinoma) - 3. dio U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima množimo zagradu sa zagradom, s tim da će se u zagradama pojavljivati više od dva pribrojnika. Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) (a + b + 2) · (a - b),
b) x - (x - y) · (-x + y + 1),
c) (e + f) · (e - f - 5),
d) - (a - b - 3) · (-b + a),
e) (x + y) (x - y) - (x - y - 2) · (x + y).
 
Zagrade unutar zagrada - ZA NAPREDNIJE UČENIKE U ovoj lekciji pojašnjavamo kako sređujemo algebarske izraze u kojima se moramo riješiti zagrada, s tim da se tu pojavljuju okrugle, uglate i vitičaste zagrade. Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) ab - [ a2 - (a - b) · a ],
b) { - [ -2y - (3y - 7) · (-6) ] · (5x - 6x) } · (-2),
c) 3 - [ x2 - (x + 2) · (x - 2) ],
d) - { 6ab - [ 3b2 + (2a - b) · 3b ] · 2 }.
 
Zbrajanje i množenje jednostavnih algebarskih izraza (Zbrajanje i množenje monoma) U ovoj lekciji uvježbavamo sređivanje jednostavnih algebarskih izraza sa i bez kvadrata. Ističemo kako se zbrajaju, a kako množe isti izrazi, te naglašavamo koja je razlika između ta dva postupka, te gdje učenici često griješe. Svakako, ovo gradivo treba dobro svladati prije nego što krenemo na složenije algebarske izraze (u kojima se pojavljuju kvadrat umnoška, količnika, zbroja, razlike,...).
Sređujemo izraze:
2x + 3x,
2x · 3x,
b - 2b,
b · (-2b),
4xy - 7xy,
4xy · 7xy,
5x2 + x2,
4x2 + 3x,
5x + 7y,
5x · 7y,
5x + 7,
4a + 6 + a,
8x2y - xy - x2y - 4xy,
...
 
Ponavljanje - Kvadriranje racionalnih brojeva
 
Kvadriranje - osnove (prirodni brojevi), veza s površinom kvadrata i kvadrati prvih 20 prirodnih brojeva U ovoj lekciji objašnjavamo što je kvadriranje, kako zapisujemo kvadrat nekog (prirodnog) broja, te uvodimo terminologiju vezanu uz tu novu računsku operaciju. Pojašnjavamo i kako je računska operacija "kvadriranje" dobila naziv, ističemo koji je novi zapis formule za površinu kvadrata, te rješavamo primjer koristeći taj novi oblik formule. Ovdje također prikazujemo kvadrate prvih 20 prirodnih brojeva (uz preporuku da ih naučite napamet), te ističemo koja je veza između zadnje znamenke zadanog broja i zadnje znamenke kvadrata tog broja.
 
Kvadrati prvih 20 prirodnih brojeva - UČENJE NAPAMET i/ili VJEŽBANJE Video za učenje napamet i/ili ponavljanje kvadrata prvih dvadeset prirodnih brojeva.
Kako zapamtiti kvadrate brojeva od 1 do 20?
 
Kvadriranje negativnih cijelih brojeva, razlomaka i decimalnih brojeva (prečice) U ovoj lekciji pojašnjavamo kako zapisujemo kvadrate negativnih brojeva (koristimo zagrade), razlomaka, decimalnih brojeva i prirodnih brojeva koji završavaju nulama. Ujedno pojašnjavamo i kako ih hvadriramo, u slučajevima kad se može kvadrirati napamet. Uočavamo i da je kvadrat bilo kojeg broja, osim nule, pozitivan, te da suprotni brojevi imaju jednake kvadrate.
Kvadriramo brojeve:
7, -7, -9,
5/9, 4/11, -6/13,
40, 800, 9000, 1900,
0.7, 0.07, 0.007, 0.2, 1.6, -0.19, 2.37,
...
 
Što se kvadrira? Sa i bez zagrada... - ČESTE GREŠKE U ovoj lekciji pojašnjavamo koja je razlika između zadataka:
a) (-3)2 i -32,
b) 32/4, (3/4)2 i 3/42,
c) 4-32, (4-3)2 i 42-32,
te rješavamo zadatke za provjeru razumijevanja. Tu su i zadaci za vježbu.
Ističemo da se, kad nema zagrade, kvadrira samo broj iznad kojeg je kvadrat (bez predznaka).
Ako želimo kvadrirati negativan broj, razlomak i sl., moramo ga staviti u zagradu.
 
Kvadriranje broja čija je posljednja znamenka 5 - NEOBAVEZAN SADRŽAJ U ovoj lekciji pojašnjavamo kako napamet možemo kvadrirati broj čija je posljednja znamenka 5, npr. kvadriramo 35, 85, 75, 105,... Ovo ne spada u redovni (obavezni) program nastave matematike u 8. razredu, ali je zgodno znati trikove za brže računanje i primjenjivati ih.
 
Redoslijed računskih operacija (uključujući kvadriranje)
 
Zadaci s više računskih operacija (uključujući kvadriranje) U ovoj lekciji rješavamo zadatke s više računskih operacija, uključujući i kvadriranje, no ovdje još nećemo imati zagrade. U sljedećoj lekciji pojasnit ćemo rješavanje zadataka sa zagradama.
Redoslijed izvođenja operacija:
1. kvadriranje,
2. množenje i dijeljenje,
3. zbrajanje i oduzimanje.
Rješavamo zadatke:
a) 8 - 2 · 52 - (-4)2 + (-3)2,
b) - (-6)2 : 22 - (-7) + (-5)2 · (-2),
c) 7/3 - 1/2 · (-2/3)2 - (-1/3)2 + 1,
d) 22/5 - (-21/52) - (-4/5)2 ,
e) 1.72 - 3 · (-1.2) + (-0.3)2 · (-2)2,
f) - (-12)2 + 112 + (-3)2 - (+4)2,
g) 132 : 13 - 42 - (-27) : (-3)2 ,
h) 32/(-7) - (-42)/7 - (-3/7)2 · (-7)/32 ,
i) -1.62 - 0.182 · (-10)2 .
 
Zadaci sa zagradama (i kvadriranjem) U ovoj lekciji pojašnjavamo kako rješavamo zadatke u kojima imamo zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, kvadriranje i zagrade.
Redoslijed računanja:
1. izrazi u zagradama,
2. kvadriranje,
3. množenje i dijeljenje,
4. zbrajanje i oduzimanje.
Ako unutar zagrada imamo više računskih operacija (kod rješavanja gore navedenog 1. koraka), unutar zagrada vrijedi isti redoslijed kao i inače, dakle:
1. kvadriramo,
2. množimo i dijelimo,
3. zbrajamo i oduzimamo.
Nadalje, ako imamo zagrade unutar zagrada, onda kao i do sad rješavamo od unutarnjih zagrada prema vanjskima, dakle prvo onu najmanju itd.
Rješavamo zadatke:
a) (5+8)2 ,
b) 52 + 82,
c) (5-8)2 ,
d) -52 - (-8)2,
e) ( 62 - 52 )2 ,
f) - ( 5 - 16 )2 ,
g) (6 - 42) · (32 - 32) ,
h) 2 - ( 4 - 32 · 6 ) : ( 100 : 22 ) ,
i) [ 72 - ( -11 + 8 )2 ]2 ,
j) { -8 · [ 359 - (-19)2 ]2 + 20 }2 ,
k) ( 1/2 - 2/3 )2 · 6/5 - 1 / (32) : 5/9,
l) (2/3)2 / (4/5)2
m) (7-20)2 ,
n) - 162 - (-4)2 ,
o) 10 - (12-27)2 ,
p) (-3)2 - ( 22 - 6 - 32 )2 : 11 ,
r) -2 - [ (3·6)2 - 80 · (-2)2 ]2 ,
s) 1 - { -1 - [ -1 - (-1 - 12)2 ]2 - 22 }2 .
 
Kvadrat umnoška i kvadrat količnika
 
Kvadrat umnoška i umnožak kvadrata U ovoj lekciji pojašnjavamo što je kvadrat umnoška, a što umnožak kvadrata, te istražujemo jesu li oni jednaki. Iznosimo i dokaz da jesu. Pokazujemo gdje se sve primjenjuje ta jednakost.
Rješavamo zadatke:
1. Kvadriraj:
a) (4x)2,
b) (-8ay)2,
c) (17abc) 2,
2. Izračunaj:
(21/59) 2 · (118/27) 2,
3. Gdje se u računu 7002 skriva primjena jednakosti kvadrata umnoška i umnoška kvadrata?
Tu su i zadaci za vježbu.
 
Kvadrat količnika i količnik kvadrata U ovoj lekciji proučavamo čemu je jednak količnik kvadrata i istražujemo je li jednak kvadratu količnika. Provjeravamo to na jednom primjeru i dokazujemo da jednakost vrijedi i općenito. Zapisujemo tu jednakost na razne načine, te pokazujemo kako se one koriste u raznim zadacima.
Rješavamo zadatke:
1. Kvadriraj, tj. riješi se zagrade:
a) ( 17 / x ) 2 ,
b) ( -8ac / 13 ) 2 ,
2. Izračunaj:
a) (-52) 2 : 262 ,
b) ( 24 / 53 ) 2 : ( 48 / 53 ) 2 ,
3. Riješi se kvadrata i sredi:
562 / 632 .
Tu su i zadaci za vježbu.
 
NEOBAVEZAN SADRŽAJ: Formula za kvadrat binoma i za razliku kvadrata
 
Formula za kvadrat binoma (kvadrat zbroja i kvadrat razlike) - 1. dio - teorija U ovoj lekciji istražujemo čemu je jednak kvadrat zbroja i kvadrat razlike, te je li kvadrat zbroja jednak zbroju kvadrata, a kvadrat razlike razlici kvadrata. Uočavamo da te dvije jednakosti ne vrijede, te istražujemo što vrijedi. Navodimo priču o prvom i drugom:
1. Kvadrat zbroja jednak je:
prvi na kvadrat plus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat.
2. Kvadrat razlike jednak je:
prvi na kvadrat minus dvostruki prvi puta drugi plus drugi na kvadrat.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
 
Formula za kvadrat binoma (kvadrat zbroja i kvadrat razlike) - 2. dio - zadaci U prošloj smo lekciji naučili čemu je jednak kvadrat zbroja, a čemu kvadrat razlike, te smo se upoznali s "pričom o prvom i drugom". U ovoj lekciji to primjenjujemo u zadacima.
Rješavamo zadatke:
1. Kvadriraj:
a) ( a + 11 )2 ,
b) ( 8 - b ) 2 ,
c) ( 3x - 4y ) 2 ,
d) ( 2a + 13 ) 2 ,
e) ( 5ab + 7 ) 2 ,
f) ( 4m - 5n ) 2 ,
g) ( 4a + 3x ) 2 ,
h) ( 5x - 6abc ) 2 ,
i) (ef - 14a ) 2.
Nadalje, ističemo po čemu se razlikuju rješavanja sljedećih zadataka i u čemu učenici često griješe:
( 6ab )2 ,
( 6a + b ) 2 ,
( x / 18 ) 2 ,
( x - 18 ) 2 ,
dakle ističemo kad priču o prvom i drugom trebamo, a kad ne trebamo primjenjivati.
Tu su i zadaci za vježbu. U jednom od njih uočavamo da brojevne izraze, npr. (8-3) 2, možemo računati na više načina, pa i koristeći priču o prvom i drugom, i uvijek ćemo dobiti isti rezultat (samo ćemo ovdje, koristeći priču o prvom i drugom, zadatak rješavati nepotrebno dugo).
 
Obrat formule kvadrata binoma U jednoj od prethodnih lekcija naučili smo kako kvadriramo zbroj i razliku, te smo naučili tzv. "priču o prvom i drugom". Ta nam priča daje tročlani izraz, a2 + 2ab + b2. U ovoj lekciji pojašnjavamo kako iz takvog tročlanog izraza dobiti kvadrat zbroja ili razlike.
Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku kvadrata:
a) x2 y2 - 10xyz + 25 z2 ,
b) 144 a2 x2 + 24 abx + b2 ,
c) 25/36 - 5abc + 9 a2 b2 c2 ,
d) 49 x2 + 16 y2 - 56xy,
...
 
Razlika kvadrata Na početku lekcije zapisujemo izraz koji predstavlja razliku kvadrata, a2-b2. Uočavamo čemu je taj izraz jednak, tj. otkrivamo jednakosti razlike kvadrata, te zapisujemo sve varijante te jednakosti. Nakon toga primjenjujemo te jednakosti (tu jednakost) u zadacima. Usput se prisjećamo kako rješavamo slične zadatke u kojima se ne može primijeniti razlika kvadrata. Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) ( x + 2y ) · ( x - 2y ),
b) ( a - 3b ) · ( a + 3b ),
c) (7xy - 8a) · (7xy + 8a),
d) ( 8x - 7y ) · ( 8x + y ),
e) ( 9m - np ) · ( 9m + np ).
2. Napiši u obliku umnoška:
a) x2 - y2 ,
b) 16c2 - 9d2 ,
c) 225x2y2 - 81.
3. Izračunaj:
a) 1022 - 98 2 ,
b) 6162 - 3842 .
Tu su i zadaci za vježbu.
 
KVADRIRANJE I ZAGRADE - Kako se riješiti zagrade? - Sistematizacija 1 - jednostavnije U ovoj lekciji, kod kvadrata binoma, koristit ćemo formulu za njegovo rješavanje.
Ponavljamo kako se riješiti zagrade:
- ako je ispred zagrade plus, npr. +( -2x + 7y ),
- ako je ispred zagrade minus, npr. - ( -2x + 7y ),
- ako je ispred zagrade množenje, npr. 4y · ( 2x - 3y ),
- ako je iza zagrade množenje, npr. ( 2x - 3y ) · 4y,
- ako je ispred zagrade minus, a iza zagrade množenje, npr. - ( 2x - 3y ) · y.
- ako kvadriramo umnožak, tj. ako kvadriramo zagradu u kojoj je množenje, npr. (8cdx)2,
- ako kvadriramo zbroj, tj. ako kvadriramo zagradu u kojoj je zbrajanje, npr. ( 8c + dx )2,
- ako kvadriramo količnik, tj. ako kvadriramo zagradu u kojoj je dijeljenje ili razlomak, npr. ( -4e / 5x )2,
- ako kvadriramo razliku, tj. ako kvadriramo zagradu u kojoj je oduzimanje, npr. ( 13 - 7abc )2,
- ako kvadriramo zagradu ispred koje je minus, npr. - ( 13 - 7abc)2,
- ako množimo dvije zagrade u kojima imamo zbroj ili razliku, npr. ( 2a - b) · ( 3a + 4 ),
- ako množimo dvije zagrade uz primjenu jednakosti razlike kvadrata, npr. ( 7x - 5y ) · ( 7x + 5y ),
- ako množimo dvije jednake zagrade u kojima je zbroj ili razlika, npr. ( 4c - 3d ) · ( 4c - 3d ).
 
KVADRIRANJE I ZAGRADE - Kako se riješiti zagrade? - Sistematizacija 2 - složenije U ovoj lekciji, kod kvadrata binoma, koristit ćemo formulu za njegovo rješavanje.
Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) ( 3a + 2b) · 6a - ( 3a - 2b )2 ,
b) ( 7ab )2 - ( 1 - 7ab )2,
c) ( 4a + cd ) · ( 4a - cd ) - ( 4a + cd ) · 4a ,
d) ( 5b - 4x ) · ( 6b + x ) - ( 2x + b )2 ,
e) ( c / 9 )2 + ( x/2 + c/9 ) · ( x/2 - c/9 ) ,
f) ( 4x - 7 ) · ( -5xy ) - ( 4x - 7 ) · ( -5x + y ) ,
a tu su i zadaci za vježbu.
 
 
KORJENOVANJE
 
Osnove
 
Korjenovanje - osnove U ovoj lekciji pojašnjavamo što je korjenovanje, kako vadimo korijen iz broja, koju terminologiju koristimo, te koji zapis. Uočavamo da iz negativnog broja ne možemo vaditi korijen, te naglašavmo koja je razlika između toga kad je minus pod korijenom i kad je ispred korijena.
 
Kad treba pisati znak korijena, a kad ne? U svakoj generaciji osmaša kojima predajem, nađe se barem jedan koji radi ovakvu pogrešku:
Rješava zadatak, npr. √36, pred pločom je i kaže "Korijen iz 36 je 6.", a napiše √36=√6.
Što je tu krivo?
Pogledajte video...
 
ČESTE GREŠKE KOD KORJENOVANJA - korijen većeg izraza ili samo jednog broja... - ŠTO SE KORJENUJE? Kad zapisujemo korijen iz nekog broja, moramo paziti koje će veličine biti taj korijen. O tome ovisi iz čega vadimo korijen, ali i da li je zadatak uopće dobro zapisan. U ovoj lekciji pojašnjavamo kako rješavamo slične zadatke koji se razlikuju samo po tome gdje ćemo i koliki korijen napisati.
 
Približno vadjenje korijena, npr. približna vrijednost korijena iz 10 Iz nekih brojeva znamo izvaditi korijene (iz 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196,...) i rezultat je cijeli broj.
Koliki su otprilike korijeni ostalih brojeva? Tj. koja je približna vrijednost tih (ostalih) korijena?
Odgovor potražite u ovom videu.
 
Korijen kvadrata i kvadrat korijena Budući da su kvadriranje i korjenovanje suprotne računske operacije, što dobivamo ako kvadriramo korijen? A ako korjenujemo kvadrat?
Uočavamo da se korijen i kvadrat u takvim zadacima poništavaju, ako je pod njima pozitivan broj.
Za negativne brojeve stvar se komplicira, a kako, pogledajte u videu.
 
Redoslijed računskih operacija (uključujući korjenovanje)
 
Zadaci s više računskih operacija (uključujući korjenovanje) i zagradama Na početku ove lekcije rješavamo zadatke s više računskih operacija među kojima su kvadriranje i korjenovanje, a kasnije i zadatke sa zagradama.
Rješavamo zadatke:
1. Izračunaj:
a) - √49 - 102 : √ 16 + 2 · √ 81 ,
b) √ 9 / (22) + √ (9/256) - 32 / √16 ,
2. Izračunaj:
a) ( 15 - √ 16 )2 ,
b) - ( √ 64 - 4 · √ 9 )2 , c) √ ( 100 - 36 ) ,
d) √ 100 - √ 36 ,
e) √ 100 - 36 ,
f) √ ( 100 - √ 361 ) ,
g) √ ( 100 - 82 ) ,
h) √ ( 16 + √ 81 ) ,
i) √ ( 152 - 122 ) ,
j) ( √ 121 - 2 · √ 196 )2 ,
k) ( 7 + √ ( 132 - 122 ) )2,
a tu su i zadaci za vježbu.
 
Računanje s korijenima
 
Zbrajanje i oduzimanje korijena U ovoj lekciji učimo zbrajati i oduzimati korijene.
Sadržaj lekcije:
1. Zbrajanje različitih korijena,
2. Oduzimanje različitih korijena,
3. Zbrajanje i oduzimanje jednakih korijena,
4. Zbrajanje više pribrojnika,
5. Zadaci za vježbu.
Uočavamo da zbroj korijena nije jednak korijenu zbroja, odnosno da se korjenovanje i zbrajanje ne slažu dobro. Stoga se različiti korijeni ne mogu zbrajati.
Isto vrijedi i za oduzimanje. Dakle, razlika korijena nije jednak korijenu razlike, tj. korjenovanje i oduzimanje se ne slažu dobro. Stoga se različiti korijeni ne mogu oduzimati.
Rješavamo zadatke:
√3 + √2 ,
√5 - √3 ,
√5 + √5,
2√3 + 4√3,
6√10 + √10,
5√2 - 4√2,
-2√7 - 3√7,
√8 + √8,
3√5 - 3√5,
2√3 - 5√3 - √3 + 7√3 + 3√3 - 7√3,
-3√2 + 4√5 - 6 - √5 + √2 - 4,
-8√10 - 6√3 + 7√10 - 2√8 - 6√3 + 2√8,
3√7 - 2√11,
-5√6 + 5√6,
-5√6 + 6√6,
-5√6 + 4√6,
2√9 - 5√16,
...
Množenje korijena U ovoj lekciji učimo množiti korijene.
Sadržaj lekcije:
1. Množenje različitih korijena,
2. Množenje jednakih korijena,
3. Množenje u izrazu poput 5√3∙4√2,
4. Zadaci za vježbu.
Uočavamo da je umnožak korijena jednak korijenu umnoška. Dakle, korjenovanje i množenje se dobro slažu.
Rješavamo zadatke:
√2 ∙ √3,
√2 ∙ √18,
√3 ∙ √5,
√45 ∙ √5,
√(10/27) ∙ √(5/6)
√7 ∙ √3 ∙ √2,
√(1 5/16) ∙ √(1 1/27),
√7 ∙ √7,
√5 ∙ √5,
4√5 ∙ 2√7,
3√5 ∙ 4√20,
4√3 ∙ 2√3,
6√7 ∙ √7,
√11 ∙ 9√10,
...
Dijeljenje korijena U ovoj lekciji učimo dijeliti korijene. Uočavamo da je korijen količnika jednak količniku korijena, tj. da se dijeljenje i korjenovanje dobro slažu.
Rješavamo zadatke:
√6 : √2,
√18 : √2,
√12 / √27,
√12 / √15 ∙ √20,
4√27 / 3√3,
6√2 / 7√2,
...
Zbrajanje i množenje korijena - sistematizacija U jednoj od prethodnih lekcija pojasnili smo kako zbrajamo (i oduzimamo) korijene, a u drugoj kako ih množimo. Te postupke učenici jako često miješaju, pa u ovoj lekciji ističemo sličnosti i razlike između tih postupaka, te naglašavamo u čemu se često griješi. Stoga ovdje rješavamo "slične zadatke", tj. zadatke u kojima imamo iste korijene, samo ih u jednom zadatku zbrajamo, a u drugom množimo... Istovremeno ponavljamo kako zbrajamo i množimo algebarske izraze, jer tu koristimo ista pravila kako i kod korijena.
Rješavamo zadatke:

6a + 7b,
6√2 + 7√3,
6√2 - 7√3,

6a + 7a,
6√2 + 7√2,
6√2 - 7√2,

6a + 7,
6√3 + 7,

4a ∙ 7b,
4√2 ∙ 5√8,
4√7 ∙ 5√3,

2a ∙ 3a,
2√5 ∙ 3√5,

9a ∙ 8,
9a ∙ a,

9√3 ∙ 8,
9√3 ∙ √3,
9√3 ∙ √2,

6√3 + 2√3,
6√3 - 2√3,
6√3 ∙ 2√3,

6√3 + 2√5,
6√3 - 2√5,
6√3 ∙ 2√5,

6√3 + 2,
6√3 ∙ 2,

6 + √3 ∙ 2√3,
6√3 ∙ 2 + √3,
6√3 ∙ √3 + 2,
6√3 + 2 + √3,

-5 + 2√3 ∙ 4√3 - √2 ∙ 3√5,
9 - 2√7 ∙ 3√6 - √2 ∙ √8,
√7 ∙ 2 - √7 - √7,
...
 
Kako se riješiti zagrada u kojima su korijeni?
 
Množenje zagrada u kojima su korijeni Rješavamo zadatke:
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) 7√3 ∙ ( 4√2 - 5√3 ),
b) ( 7√8 - 9 ) ∙ √2,
c) - ( 9√5 - 3√6 ) ∙ 8√11,
d) ( 5√2 - 3√7 ) ∙ ( 4√ + 8√7 ),
e) - ( 3√5 + √2 ) ∙ ( 4 - 2√2 ),
f) ( 6√3 - 4√2 ) ∙ ( 6√3 + 4√2 ),
g) ( 3√2 - 4 ) ∙ ( -2√13 ).
 
Kvadriranje zagrada u kojima su korijeni U ovoj lekciji rješavamo zadatke u kojima kvadriramo zagrade u kojima su korijeni.
Ovdje imamo: kvadrat umnoška, kvadrat količnika, kvadrat razlike, kvadrat zbroja i kvadrat razlike.
Rješavamo zadatke
1. Riješi se zagrada i sredi:
a) ( √11 )2,
b) ( 3√8 )2,
c) ( √5 / 10 )2,
d) ( 3√6 / 8 )2,
e) ( 4 + √3 )2,
f) (7√2 - 3√8 )2,
g) - (√5 - 2√3 )2,
... Napomena: U ovom videu, kod kvadriranja binoma koristi se formula za kvadrat binoma, a ona više ne spada u redovni program (po Školi za život). Ukoliko ona nije obrađena vezano uz kvadriranje, onda binom kvadriramo tako da ga pomnožimo sa samim sobom (množenje zagrade zagradom).
 
Djelomično vađenje korijena
 
Djelomično vađenje korijena - 1. dio Objašnjenje postupka, nekoliko primjera i razjašnjenje nekih učeničkih nedoumica.
 
Djelomično vađenje korijena - 2. dio Primjena djelomičnog vađenja korijena - sređivanje rezultata.
 
Razlika između približnog vađenja korijena i djelomičnog vađenja korijena U ovoj lekciji pojašnjavamo koja je razlika između približnog vađenja korijena i djelomičnog vađenja korijena.
Rješavamo zadatke:
1. Približno izvadi korijen iz broja 20,
2. Djelomično izvadi korijen iz broja 20.
 
Racionalnizacija nazivnika - NEOBAVEZNI SADRŽAJ
 
Racionalizacija nazivnika - 1. dio - NEOBAVEZNI SADRŽAJ Objašnjenje naziva i osnovni postupak.
 
Racionalizacija nazivnika - 2. dio - NEOBAVEZNI SADRŽAJ Puno riješenih primjera u slučaju kad u nazivniku imamo množenje.
 
Racionalizacija nazivnika - 3. dio - NEOBAVEZNI SADRŽAJ Objašnjenje postupka kad u nazivniku imamo zbrajanje ili oduzimanje.
 
Racionalizacija nazivnika - 4. dio - NEOBAVEZNI SADRŽAJ Nekoliko primjera - gdje se racionalizacija nazivnika primjenjuje.
 
Ručno / pisano vađenje korijena - NEOBAVEZNI SADRŽAJ
 
Pismeno/ručno vađenje korijena - NEOBAVEZNI SADRŽAJ U ovom videu pojašnjavamo kako pismenim putem možemo izvaditi korijen iz bilo kojeg broja.
Pismeni postupak pojašnjavamo na primjeru vađenja korijena iz 102247.981,
zatim dajemo upute kako krenuti ako vadimo korijene iz 9, 2 i 73298,
a za vježbu su zadaci u kojima treba izvaditi korijen iz 3, 535824, 89144.0449 i 1.6 .
Napominjem da ovo gradivo ne spada u program redovne nastave matematike u školama u RH, međutim mnogi pitaju za taj postupak, pa eto pomoći u tom smjeru.
 
 
KVADRATNA JEDNADŽBA
 
Kvadratna jednadžba - 1. dio U ovoj lekciji pojašnjavamo što je kvadratna jednadžba i pojašnjavamo kako rješavamo najosnovniji tip kvadratne jednadžbe.
Rješavamo jednadžbe:
x2 = 64,
x2 = 121,
x2 = 324 ,
a2 = 49 ,
x2 = -25 ,
x2 = - 49 ,
x2 = 0 .
Uočavamo da kvadratna jednažba može imati:
- dva rješenja,
- jedno rješenje,
- niti jedno rješenje.
 
Kvadratna jednadžba - 2. dio U ovoj lekciji rješavamo kvadratne jednadžbe koje nemaju cjelobrojna rješenja. Da bismo znali riješiti takve jednadžbe, moramo poznavati računsku operaciju korjenovanje.
Rješavamo jednadžbe:
x2 = 10,
a2 = 6 ,
x2 = 4,
x2 = 8,
x2 = 500 ,
x2 = -7 ,
x2 = 196 ,
x2 = 18,
...
 
Kvadratna jednadžba - 3. dio Rješavamo jednadžbe:
5x2 = 45 ,
-y2 = -21 ,
-3a2 = 27 ,
-5b2 = -55 ,
...
 
Kvadratna jednadžba - 4. dio U ovoj lekciji rješavamo jednadžbe:
a) 23 x2 + 514 = 23 x2 + 14 + 5 x2 ,
b) a2 - 17 = 2 a2 - 1 ,
c) -2 x2 - 20 = - x2 - 25 ,
...
 
Kvadratna jednadžba - 5. dio U ovoj lekciji rješavamo jednadžbe:
a) ( x - 5 )2 = 4 ,
b) ( 2x + 6 )2 = 144 ,
c) ( x + 6 )2 - 64 = 0,
...
 
Razlika između rješavanja kvadratne jednadžbe i vađenja korijena Rješavamo dva "slična" zadatka:
1. Riješi jednadžbu x2 = 25.
2. Izračunaj √25.
Imaju li ta dva zadatka isto rješenje/ista rješenja?
Odgovor potražite u ovom videu.
 
 
POTENCIRANJE
 
Ponavljanje - potencije s bazom 10
 
Potencije broja 10 - s pozitivnim eksponentom. Znanstveni zapis broja Potencije broja 10 koristimo za zapisivanje jako velikih i jako malih brojeva.
Npr. masa Zemlje je približno 5.97 ∙ 1024 kg. Dakle, za zapisivanje tako velikih brojeva koristimo potencije broja 10 s pozitivnim eksponentom. Takve ćemo proučavati u ovoj lekciji.
S druge strane, masa protona je jaaaako mala (blizu 0 kg), i iznosi približno 1.67 ∙ 10-27. Dakle, za zapisivanje tako malih brojeva koristimo potencije broja 10 s negativnim eksponentom. Takve ćemo pojasniti u sljedećoj lekciji.
U ovoj lekciji proučavamo čemu je jednako 101, 102, 103,..., te rješavamo zadatke:
1. Zapiši bez potencije broja 10:
a) 2.6 ∙ 103,
b) 3.25 ∙ 106,
c) 0.89 ∙ 104,
d) 5.97 ∙ 1024.
2. Sljedeće brojeva zapiši pomoću potencija broja 10, tako da decimalnu točku staviš iza prve značajne znamenke (tj. iza prve znamenke koja nije nula):
a) 327 126 000 000 000,
b) 68 120 000 000,
c) 5 803 000 000 000 000,
d) 602 000 000.
Tu su i zadaci za vježbu, odnosno za provjeru usvojenosti gradiva.
 
Potencije broja 10 - s negativnim eksponentom. Znanstveni zapis broja Potencije broja 10 koristimo za zapisivanje jako velikih i jako malih brojeva.
Npr. masa Zemlje je približno 5.97 ∙ 1024 kg. Dakle, za zapisivanje tako velikih brojeva koristimo potencije broja 10 s pozitivnim eksponentom. Takve smo proučavali u prošloj lekciji.
S druge strane, masa protona je jaaaako mala (blizu 0 kg), i iznosi približno 1.67 ∙ 10-27. Dakle, za zapisivanje tako malih brojeva koristimo potencije broja 10 s negativnim eksponentom. Takve pojašnjavamo u ovoj lekciji.
U ovoj lekciji proučavamo čemu je jednako 10-1, 10-2, 10-3,..., te rješavamo zadatke:
1. Zapiši bez potencije broja 10:
a) 8 ∙ 10-3,
b) 4.7 ∙ 10-2,
c) 689.7 ∙ 10-2,
d) 7.13 ∙ 10-6,
e) 1.67 ∙ 10-27.
2. Sljedeće brojeva zapiši pomoću potencija broja 10, tako da decimalnu točku staviš iza prve značajne znamenke (tj. iza prve znamenke koja nije nula):
a) 0.000 000 157,
b) 0.0314,
c) 0.000 000 000 008 96,
d) 0.000 04.
Tu su i zadaci za vježbu, odnosno za provjeru usvojenosti gradiva.
 
Množenje potencija broja 10 U prošloj smo lekciji naučili kako općenito množiti potencije jednakih baza. U ovoj lekciji množimo potencije broja 10
(to spada u množenje potencija jednakih baza).
Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku jedne potencije:
a) 103 ∙ 108,
b) 10-2 ∙ 10-5,
c) 10-4 ∙ 1020,
d) 10 ∙ 10-9,
e) 3 ∙ 107 ∙ 4 ∙105,
f) 6 ∙ 10-3 ∙ 8 ∙1018,
g) 7 ∙ 1042 ∙ 9 ∙10-50,
h) 8 ∙ 10-11 ∙ 7 ∙10-10.
 
Dijeljenje potencija broja 10 U prošloj smo lekciji pojasnili kako općenito dijelimo potencije jednakih baza, a u ovoj pojašnjavamo dijeljenje potencija s bazom 10. Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku (jedne) potencije:
a) 1015 : 103,
b) 103 : 1015,
c) 103 : 10-15,
d) 10-15 : 10-3,
e) 10-8 : 106,
f) 10-7 : 10-11,
g) 104 : 10,
h) 10 : 109,
...
 
Osnove - potencija bilo koje baze
 
Potencije - osnove Sadržaj lekcije:
1. Potencije općenito (s pozitivnim eksponentom),
2. Nula u eksponentu ("nešto na nultu"),
3. Potencija negativnog broja,
4. Potencija razlomka,
5. Nazivi: baza (osnovica), eksponent, potencija,
6. Potencija s negativnim eksponentom,
7. Zadaci za vježbu,
8. Pojašnjenje definicija potencija s eksponentom nula i s negativnim eksponentom.

U uvodnom dijelu lekcije pojašnjavamo što znači potencirati neki broj, koji zapis koristimo, kako ga čitamo itd. Uočavamo i da kvadriranje spada u potenciranje, te da je svejedno hoćemo li reći "na kvadrat" ili "na drugu", smisao (i rezultat) je isti.
Rješavamo zadatke:
24, 53, 82, 51, 50, (-3)4, -34, (2/3)3,
(3/2)-4, (7/6)-2, 2-3, 6-1, (13/5)-1,
a tu su i zadaci za vježbu.
 
Zbrajanje i oduzimanje potencija
 
Zbrajanje i oduzimanje potencija broja 10 (jednakih eksponenata) U ovoj lekciji pojašnjavamo kako zbrajamo i oduzimamo potencije broja 10 koje imaju jednake eksponente. Rješavamo zadatke:
1. Zbroji:
3 ∙ 106 + 2 ∙ 106,
3 ∙ 108 + 2 ∙ 108,
-6 ∙ 1011 + 2 ∙ 1011,
-3 ∙ 107 - 5 ∙ 107,
6 ∙ 10-8 - 15 ∙ 10-8,
3 ∙ 105 + 105,
109 + 4 ∙ 109 + 109,
18 ∙ 103 - 17 ∙ 103,
6 ∙ 105 - 7 ∙ 105,
-10-4 - 10-4,
-3 ∙ 109 + 3 ∙ 109,
...
 
Zbrajanje i oduzimanje potencija broja 10 (različitih eksponenata) U ovoj lekciji pojašnjavamo kako zbrajamo i oduzimamo potencije broja 10 koje imaju različite eksponente. Rješavamo zadatke:
1. Zbroji:
3 ∙ 104 + 6 ∙ 105,
2. Pojednostavi:
a) -5 ∙ 107 + 4 ∙ 106,
b) -3 ∙ 109 - 8 ∙ 1010,
c) 6 ∙ 1018 + 3 ∙ 1020,
d) 1022 + 1023,
...
 
Množenje i dijeljenje potencija
 
Množenje potencija jednakih baza U ovoj lekciji pojašnjavamo kako množimo potencije jednakih baza.
Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku jedne potencije:
a) 24 ∙ 23,
b) 519 ∙ 530,
c) 45 ∙ 4-3,
d) 5-6 ∙ 5-3,
e) 8-12 ∙ 810,
f) 69 ∙ 6,
g) 147 ∙ 14 ∙ 14,
h) 82 ∙ 83 ∙ 8-10,
i) 5-9 ∙ 5-3 ∙ 5-6,
j) 3 ∙ 3 ∙ 33 ∙ 3,
...
 
Dijeljenje potencija jednakih baza U ovoj lekciji otkrivamo kako dijelimo potencije jednakih baza, odnosno kako količnik takvih potencija napisati u obliku (jedne) potencije. Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku (jedne) potencije:
a) 56 : 52,
b) 75 : 73,
c) 518 : 56,
d) 1412 : 1415,
e) 6055 : 6011,
f) (-1/2)13 : (-1/2)8,
g) (abc)20 : (abc)27,
h) 164 : 16,
i) 145 : 142,
j) 145 : 14-2,
k) 16-8 : 167,
l) 16-8 : 16-7,
m) 9-10 : 9-14,
n) 82-100 : 82-82,
...
 
Množenje potencija jednakih eksponenata U ovoj lekciji učimo kako množimo potencije jednakih eksponenata, odnosno kako umnožak potencija jednakih eksponenata napisati u obliku jedne potencije. Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku potencije:
a) 73 ∙ 23,
b) 85 ∙ 65,
2. Izračunaj:
a) 57 ∙ 27,
b) 43 ∙ 253,
c) 1252 ∙ 82,
d) (14/27)3 ∙ (14/27)3,
...
 
Dijeljenje potencija jednakih eksponenata U ovoj lekciji učimo kako dijelimo potencije jednakih eksponenata, tj. kako količnik potencija jednakih eksponenata napisati u obliku (jedne) potencije. Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku potencije:
83 : 23,
2. Izračunaj:
a) 546 : 276,
b) 284 : 74,
c) 3708 : 378,
...
 
Potencija potencije
 
Potencija potencije U ovoj lekciji učimo kako potenciramo potenciju, tj. kako potenciju potencije svesti na "običnu" potenciju. Dakle, izraze oblika (an)m svodimo na izraz oblika ak. Rješavamo zadatke:
1. Napiši u obliku "obične" potencije:
a) (472)3,
b) (53)4,
c) (48)9,
d) (156)7,
e) (73)-4,
f) (8-5)-6,
g) (94)0,
...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Webmajstori Hvala članovima foruma Webmajstori što su za vrijeme mog petljanja po dizajnu ovih stranica, strpljivo odgovarali na moja 'visokoumna' pitanja.
 
Antonija Horvatek Autorica weba...