Kvadrat čije su stranice duge 1 cm ima površinu 1 cm².

Ako za prekrivanje nekog lika trebamo npr. 4 takva kvadrata,

 onda je površina tog lika  4 cm² .

P = a·b

Objašnjenje formule:

 
Formula slijedi iz same definicije pojma površine.

Npr.

P = 5 ·2 = 10 cm²

Općenito:  Ako su duljine stranica pravokutnika a i b, tada u 1. redak možemo staviti točno a jediničnih kvadrata, u 2. redak opet a jediničnih kvadrata itd., a bit će točno b redaka. Stoga je ukupan broj jediničnih kvadrata a·b .

P = 1/2 · d₁ · d₂

Objašnjenje formule:

 
Četverokut s okomitim dijagonalama d₁ i d₂ lako docrtamo do pravokutnika sa stranicama d₁ i d₂. Površina tog pravokutnika je d₁·d₂ , a površina početnog četverokuta je očito napola manja.

P = a ²

P = 1/2 · d ²

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica činjenice da je kvadrat specijalni slučaj pravokutnika u kojem je a=b.

Druga formula je posljedica činjenice da se dijagonale kvadrata sijeku pod pravim kutom i formule navedene pod 2.

 
Napomena:

Koju formulu koristiti u konkretnom slučaju, ovisi o tome je li nam poznata stranica a ili dijagonala d.

Ako nekom kvadratu znamo i duljinu stranice i duljinu dijagonale, svejedno je po kojoj ćemo formuli računati - u oba slučaja dobivamo isti rezultat.

    P = a · v_a

Objašnjenje formule:

 
Paralelogram možemo prerezati na dva dijela i presložiti ih tako da dobijemo pravokutnik čija će stranica i visina biti jednake stranici i visini početnog paralelograma.

  P = a · v_a

P = 1/2 · d₁ · d₂

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica činjenice da je romb specijalni slučaj paralelograma u kojem je a=b.

Druga formula je posljedica činjenice da se dijagonale romba sijeku pod pravim kutom i formule navedene pod 2.

Napomena:

Koju formulu koristiti u konkretnom slučaju, ovisi o tome je li nam poznata stranica a ili dijagonale d₁  i d₂ .

Ako nekom rombu znamo i duljine stranica i duljine dijagonala, svejedno je po kojoj ćemo formuli računati - u oba slučaja dobivamo isti rezultat.

  P = 1/2 · (a + c) · v

Objašnjenje formule:

 
Svaki trapez je jedan od dva sukladna (jednaka) trapeza koji čine paralelogram s bazom a+c i visinom v, pa je njegova površina jednaka polovini površine tog paralelograma.

Površina paralelograma na slici:    P = (a+c) · v

P = 1/2 · d₁ · d₂

Objašnjenje formule:

 
Deltoid ima okomite dijagonale, pa za njega vrijedi formula pod 2.

P = 1/2 · a · v_a

Objašnjenje formule:

 
Svaki trokut je jedan od dva sukladna (jednaka) trokuta koji čine paralelogram, pa je njegova površina pola površine paralelograma.

P = 1/2 · a · b

_i

P = 1/2 · c · v_c

Objašnjenje formula:

 
Prva formula je posljedica formule za površinu bilo kojeg trokuta (pod 8.) i toga što je u pravokutnom trokutu b=v_a.

Drugu formulu dobivamo primjenom formule  P=1/2·a·v_a   na stranicu c.

P = r² π

Objašnjenje:

 
Opseg kruga (tj. duljina kružnice) je 2rπ. Tako je definiran broj π (π≈3.14). Podijelimo krug na kružne isječke. Što veći broj isječaka napravimo, to će se ti isječci po svom obliku sve više približavati obliku trokuta. Ukupnu površinu svih tih trokuta dobivamo množenjem: 

1/2  puta zbroj njihovih donjih stranica (a one su zajedno duge kao cijela kružnica, tj. 2rπ) puta visina tih trokuta (a to je r).

Kocka čiji su bridovi dugi 1 cm ima volumen 1 cm³.

Ako za popunjavanje nekog tijela trebamo npr. 3 takve kocke,

 onda je volumen tog tijela  3 cm³ .

Objašnjenje:
Zamislimo da plašt valjka razrežemo po jednoj izvodnici i razgrnemo ga u ravninu - dobivamo pravokutnik čija je jedna stranica duga koliko i kružnica (dakle 2rπ), a druga je v .

Objašnjenje glavne formule  V=Bv  za uspravnu prizmu i uspravni valjak:
Za uspravnu prizmu i uspravni valjak ta formula slijedi iz same definicije pojma volumena.

Naime, pitamo se s koliko jediničnih kocki možemo popuniti zadanu prizmu ili valjak. Budući da površina baze B (po definiciji pojma površine) govori koliko je jedničnih kvadrata potrebno za popunjavanje baze, onda isti taj broj B govori i koliko je jedinčnih kocki potrebno za prekrivanje baze. Dakle, prilikom popunjavanja prizme/valjka, u 1. sloj stane točno B jediničnih kocki, no tada i u 2. sloj stane također B jedničnih kocki (slažemo kocku na kocku) itd., a ukupno ima v slojeva. Stoga je tu ukupno B·v jediničnih kocki, pa je  V=Bv.

 
Objašnjenje iste formule za kosu prizmu i kosi valjak:
Za kosu prizmu ili kosi valjak, krenimo od uspravne prizme ili valjka, zamislimo da su oni podijeljeni na jako tanke vodoravne slojeve, te pomakom tih slojeva dobivamo kosu prizmu/valjak (iste baze i visine). A pomicanjem tih slojeva volumen se ne mijenja!

Objašnjenje formula za kvadar, kocku i valjak, V=avc, V=a³, V=r²πv :
Te formule dobijemo kad u osnovnu formulu V=Bv uvrstimo formulu za površinu baze u svakom posebnom slučaju i oznake za bridove odnosno za polumjer baze.

Objašnjenje:
Rezovima po izvodnicama, podijelimo plašt stošca na kružne isječke. Povećanjem broja tih isječaka (odnosno smanjivanjem njihove širine), njihov se oblik sve više približava obliku trokuta. Površinu svih tih trokuta zajedno dobivamo množenjem:

1/2  puta zbroj njihovih donjih stranica (a to je jednako opsegu baze 2rπ)  puta visina tih trokuta s.

Objašnjenje u 3 koraka:

1. korak:

Volumen piramide je proporcionalan površini baze B, a ujedno i visini v . Naime, zamislimo da se udvostruči baza ili visina. Udvostručenje baze će uzrokovati udvostručenje volumena po svakom vodoravnom presjeku. Udvostručenje visine uzrokovat će udvostručenje volumena po svakom uspravnom presjeku.

2. korak:

Konstanta proporcionalnosti mora biti 1/3.

Naime, ako krenemo od piramide čija je baza kvadrat 1x1, a visina 1/2, i ako 6 takvih piramida spojimo kao što prikazuje slika, one će zajedno činiti kocku 1x1x1, a njezin je volumen 1. Stoga je volumen polazne piramide jednak 1/6, a to je 1/3·B·v  .

3. korak:

Kosa piramida ima isti volumen kao i uspravna piramida s istom bazom i visinom.

Naime, krenimo od uspravne piramide, zamislimo da je ona podijeljena na puuuno tankih vodoravnih slojeva, te pomaknemo te slojeve da bismo dobili kosu piramidu. Pomakom slojeva volumen se nije promijenio.

Objašnjenje:
Za volumen stošca vrijedi ista formula kao i za volumen piramide V=Bv/3 . Naime, ako stožac podijelimo s puno ravnina koje prolaze kroz visinu stošca, povećanjem broja ravnina dobivena tijela sve više liče piramidama. Iz zbroja njihovih formula za volumen dobivamo Bv/3. Budući da je baza krug, umjesto B možemo uvrstiti r²π te time dobivamo V=r²πv/3.

Kosi stožac ima istu formulu. Objašnjenje je isto kao i (gore) za kosu piramidu.

Objašnjenje:

Uočimo da je površina plašta valjka koji ima polumjer baze r  i visinu 2r  upravo  P=2rπv = 2rπ·2r = 4r²π .
Dakle, dovoljno je uočiti da je oplošje kugle (tj. površina sfere) jednaka površini plašta takvog valjka. Da bismo to uočili, prvo zamislimo da je kugla smještena u takav valjak. Zatim zamislimo da i kuglu i valjak prerežemo dvjema ravninama koje su paralelne s bazom valjka i čija je međusobna udaljenost vrlo mala. Između tih dviju ravnina dobivamo prsten na plaštu valjka i prsten na sferi. Oba prstena imaju jednake površine! Zašto? Prsten na sferi ima manji polumjer, ali zato je širi od prstena na plaštu valjka, i to dovodi do jednakosti površina tih dvaju prstena, ako je udaljenost između presječnih ravnina jako mala. Gornji crtež prikazuje dva pravokutna trokuta. Hipotenuza većeg trokuta je polumjer sfere, a hipotenuza manjeg trokuta smanjenjem udaljenosti između presječnih ravnina prelazi u tangentu, pa je okomita na polumjer R, D je okomit na R. Zbog očite okomitosti i još jednog para kateta tih trokuta, slijedi da se ti trokuti podudaraju u dva kuta pa su prema K-K poučku slični. Stoga su im stranice proporcionalne, pa vrijedi r/R=d/D, odnosno rD=Rd. Otuda slijedi 2Rπd = 2rπD, tj. površina prstena na plaštu valjka jednaka je površini pripadnog prstena na sferi. Budući da to vrijedi za prstene određene bilo kojim bliskim ravninama paralelnima s bazom, slijedi da je površina cijele sfere jednaka površini cijelog plašta valjka.

Objašnjenje :
Podijelimo kuglu na što više piramida čije su baze što manjih površina i čiji su vrhovi u središti kugle. Volumen svake piramide jednak je umnošku:

1/3 puta površina baze piramide puta visina piramide (a visina piramide je polumjer kugle r),

a nakon zbrajanja svih tih volumena dobivamo umnožak:

1/3 puta površina cijele sfere (a to je 4r²π ) puta polumjer kugle r . Otuda slijedi V=4/3·r³π .